The paradox of the derivative | Chapter 2, Essence of calculus

العربية English

0:15

الهدف هنا بسيط: شرح معنى المشتقة.

The goal here is simple, explain what a derivative is.

0:19

لكن ثمة بعض الدقة في هذا الموضوع،

The thing is though, there's some subtlety to this topic,

0:21

وإمكانية كبيرة لحدوث مفارقات إذا لم تكن حذرًا.

and a lot of potential for paradoxes if you're not careful.

0:24

والهدف الثانوي أن تتكوّن لديك فكرة

So a secondary goal is that you have an appreciation

0:27

عن هذه المفارقات وكيفية تجنبها.

for what those paradoxes are and how to avoid them.

0:31

من الشائع أن يقال إن المشتقة تقيس معدل التغيّر اللحظي،

You see, it's common for people to say that the derivative measures an instantaneous

0:35

لكن عند التفكير في الأمر، تبدو هذه العبارة متناقضة في ذاتها.

rate of change, but when you think about it, that phrase is actually an oxymoron.

0:40

فالتغيّر يحدث بين نقطتين منفصلتين في الزمن،

Change is something that happens between separate points in time,

0:43

وحين تحصر نظرك في لحظة واحدة فقط،

and when you blind yourself to all but just a single instant,

0:46

لا يبقى مجال للتغيّر فعليًا.

there's not really any room for change.

0:49

ستتضح لك فكرتي أكثر حين نتعمق في الموضوع،

You'll see what I mean more as we get into it,

0:51

لكن حين تدرك أن عبارة مثل «معدل التغيّر اللحظي» هي في الواقع

but when you appreciate that a phrase like instantaneous rate of change is actually

0:56

هراء، أعتقد أن ذلك يجعلك تقدّر مدى براعة روّاد علم التفاضل والتكامل

nonsense, I think it makes you appreciate just how clever the fathers of calculus

1:00

في تجسيد الفكرة التي توحي بها تلك العبارة،

were in capturing the idea that phrase is meant to evoke,

1:02

بأداة رياضية منطقية تمامًا: المشتقة.

but with a perfectly sensible piece of math, the derivative.

1:07

وكمثال أساسي، تخيّل سيارة تنطلق من نقطة ما، أ،

As our central example, I want you to imagine a car that starts at some point A,

1:11

ثم تسرع، وبعدها تبطئ حتى تتوقف عند نقطة ب، على بُعد 100 متر،

speeds up, and then slows down to a stop at some point B 100 meters away,

1:15

ولنفترض أن ذلك كله يحدث خلال 10 ثوانٍ.

and let's say it all happens over the course of 10 seconds.

1:20

هذا هو الوضع الذي علينا تصوره ونحن نشرح معنى المشتقة.

That's the setup to have in mind as we lay out what the derivative is.

1:23

يمكننا رسم حركة السيارة بيانيًا، بحيث يمثّل المحور الرأسي

Well, we could graph this motion, letting the vertical axis represent the

1:29

المسافة المقطوعة، ويمثّل المحور الأفقي الزمن؛ فعند كل زمن t،

distance traveled, and the horizontal axis represent time, so at each time t,

1:34

يمثّله موضع ما على المحور الأفقي،

represented with a point somewhere on the horizontal axis,

1:38

يبيّن ارتفاع المنحنى المسافة الكلية التي قطعتها السيارة بعد

the height of the graph tells us how far the car has traveled in total after

1:44

انقضاء تلك المدة.

that amount of time.

1:46

ومن الشائع تسمية دالة المسافة هذه s(t).

It's pretty common to name a distance function like this s of t.

1:50

كنت سأستخدم الحرف d للمسافة، لكن ذلك

I would use the letter d for distance, but that

1:52

الرجل لديه بالفعل وظيفة أخرى بدوام كامل في التفاضل والتكامل.

guy already has another full time job in calculus.

1:56

في البداية، يكون المنحنى مسطحًا نسبيًا، لأن السيارة تنطلق ببطء.

Initially, the curve is quite shallow, since the car is slow to start.

2:00

خلال تلك الثانية الأولى، لا تتغير المسافة التي تقطعها كثيرًا.

During that first second, the distance it travels doesn't change that much.

2:04

في الثواني القليلة التالية، ومع تسارع السيارة،

For the next few seconds, as the car speeds up,

2:07

تزداد المسافة المقطوعة في كل ثانية،

the distance traveled in a given second gets larger,

2:10

وهذا يقابل انحدارًا أشد في هذا الرسم البياني.

which corresponds to a steeper slope in this graph.

2:13

ثم قرب النهاية، حين تتباطأ، يصبح المنحنى أقل انحدارًا مجددًا.

Then towards the end, when it slows down, that curve shallows out again.

2:20

لو رسمنا سرعة السيارة بالأمتار في الثانية بدلالة الزمن،

If we were to plot the car's velocity in meters per second as a function of time,

2:25

فقد يبدو الرسم كحدبة كهذه.

it might look like this bump.

2:27

في البداية، تكون السرعة ضئيلة جدًا.

At early times, the velocity is very small.

2:30

حتى منتصف الرحلة، تتزايد سرعة السيارة لتبلغ قيمة قصوى،

Up to the middle of the journey, the car builds up to some maximum velocity,

2:34

فتقطع مسافة كبيرة نسبيًا كل ثانية.

covering a relatively large distance each second.

2:37

ثم تتباطأ مجددًا حتى تقترب سرعتها من الصفر.

Then it slows back down towards a speed of zero.

2:41

من المؤكد أن هذين المنحنيين مرتبطان أحدهما بالآخر.

These two curves are definitely related to each other.

2:44

إذا غيّرت دالة المسافة بدلالة

If you change the specific distance vs.

2:47

الزمن، فستحصل على دالة مختلفة للسرعة بدلالة

time function, you'll have some different velocity vs.

2:50

الزمن.

time function.

2:51

ما نريد فهمه هو تفاصيل هذه العلاقة.

What we want to understand is the specifics of that relationship.

2:55

كيف تعتمد السرعة تحديدًا على دالة المسافة بدلالة

Exactly how does velocity depend on a distance vs.

2:59

الزمن؟

time function?

3:01

ولفعل ذلك، يجدر بنا أن نتوقف لحظة للتفكير

To do that, it's worth taking a moment to think

3:04

بتمعّن في معنى السرعة هنا تحديدًا.

critically about what exactly velocity means here.

3:08

قد نعرف جميعًا intuitively معنى السرعة في لحظة معينة،

Intuitively, we all might know what velocity at a given moment means,

3:11

فهي ببساطة ما يعرضه عداد سرعة السيارة في تلك اللحظة.

it's just whatever the car's speedometer shows in that moment.

3:17

من البديهي أن سرعة السيارة تكون أكبر عندما

Intuitively, it might make sense that the car's velocity should be higher at times when

3:21

يكون منحنى المسافة أشد انحدارًا، أي حين تقطع السيارة مسافة أكبر في وحدة الزمن.

this distance function is steeper, when the car traverses more distance per unit time.

3:26

لكن الغريب أن السرعة في لحظة واحدة لا معنى لها.

But the funny thing is, velocity at a single moment makes no sense.

3:31

إذا أريتُك صورة لسيارة، لقطةً في لحظة واحدة،

If I show you a picture of a car, just a snapshot in an instant,

3:34

وسألتك عن سرعتها، فلن تستطيع أن تخبرني.

and I ask you how fast it's going, you'd have no way of telling me.

3:39

ما تحتاج إليه هو نقطتان منفصلتان في الزمن للمقارنة بينهما.

What you'd need are two separate points in time to compare.

3:43

وبذلك يمكنك حساب مقدار التغير في المسافة بين هذين الزمنين،

That way you can compute whatever the change in distance across those times is,

3:47

مقسومًا على التغير في الزمن.

divided by the change in time.

3:49

أليس كذلك؟

Right?

3:49

أعني، هذا هو معنى السرعة: المسافة المقطوعة لكل وحدة زمن.

I mean, that's what velocity is, it's the distance traveled per unit time.

3:55

فكيف ننظر إذن إلى دالة للسرعة

So how is it that we're looking at a function for velocity that

3:59

لا تأخذ سوى قيمة واحدة لـ t، أي لقطة واحدة في الزمن؟

only takes in a single value of t, a single snapshot in time?

4:02

هذا غريب، أليس كذلك؟

It's weird, isn't it?

4:04

نريد أن نربط كل لحظة من الزمن بسرعة،

We want to associate individual points in time with a velocity,

4:07

لكن حساب السرعة يتطلب في الواقع مقارنة نقطتين منفصلتين في الزمن.

but actually computing velocity requires comparing two separate points in time.

4:14

إن بدا لك ذلك غريبًا ومتناقضًا، فهذا جيد!

If that feels strange and paradoxical, good!

4:17

فأنت تواجه الصراعات نفسها التي واجهها رواد التفاضل والتكامل.

You're grappling with the same conflicts that the fathers of calculus did.

4:21

وإذا أردت فهمًا عميقًا لمعدلات التغير، لا في سيارة متحركة فحسب،

And if you want a deep understanding for rates of change, not just for a moving car,

4:25

بل في شتى الظواهر العلمية، فعليك حل هذا التناقض الظاهري

but for all sorts of things in science, you're going to need to resolve this apparent

4:29

المفارقة.

paradox.

4:32

أولًا، أظن أن الأفضل أن نتحدث عن العالم الحقيقي،

First, I think it's best to talk about the real world,

4:34

ثم ننتقل إلى عالم رياضي بحت.

and then we'll go into a purely mathematical one.

4:37

لنفكر فيما يفعله عداد سرعة السيارة على الأرجح.

Let's think about what the car's speedometer is probably doing.

4:41

في لحظة ما، لنقل بعد 3 ثوانٍ من بدء الرحلة،

At some point, say 3 seconds into the journey,

4:43

قد يقيس عداد السرعة المسافة التي تقطعها السيارة خلال فترة زمنية قصيرة جدًا،

the speedometer might measure how far the car goes in a very small amount of time,

4:48

ربما المسافة المقطوعة بين الثانية 3 والثانية 3.01.

maybe the distance traveled between 3 seconds and 3.01 seconds.

4:53

ثم يحسب السرعة بالمتر في الثانية بقسمة تلك

Then it could compute the speed in meters per second as that tiny

4:57

المسافة الصغيرة المقطوعة بالأمتار على الزمن القصير، 0.01 ثانية.

distance traversed in meters divided by that tiny time, 0.01 seconds.

처음 5분까지만 무료로 볼 수 있어요. 이어서 보려면 앱이나 확장 프로그램을 설치하세요.

다운로드

3Blue1Brown — 더 많은 영상 العربية 자막 더 보기 English 자막 더 보기