Introduction to Calculus - What IS a Derivative?

0:00

toán học thật đẹp vì nó cho chúng ta một cách để mô tả những thứ luôn thay đổi

mathematics is beautiful because it gives us a way to describe things that are always changing

0:04

những thứ như chuyển động, sự phát triển và tốc độ bây giờ

things such as motion growth and speed now

0:08

nếu bạn muốn hiểu về phép tính, ý tưởng đầu tiên bạn thực sự cần phải

if you want to understand calculus the first idea you really need to

0:11

hiểu là đạo hàm và trong video này chúng ta sẽ

understand is the derivative and in this video we're going

0:14

xây dựng ý tưởng đó bằng cách giới thiệu định nghĩa chính thức về đạo hàm nhưng chúng ta sẽ làm điều đó bằng cách xây dựng trực giác phía sau nó. Bây giờ, để bắt đầu, chúng ta phải bắt đầu với những điều cơ bản, chính xác thì hàm số là gì

to build up that idea by introducing the formal definition of a derivative but we're going to do it by building up intuition behind it now to start with we must begin with the basics what exactly is a function

0:26

Một hàm số giống như một cỗ máy, bạn đưa vào một đầu vào và nó sẽ cho bạn một đầu ra.

A function is like a machine, you give it an input and it gives you an output.

0:30

Ví dụ, hãy tưởng tượng một cỗ máy nhân đôi bất kỳ số nào mà bạn đưa vào. Nếu tôi đưa vào số 1, nó sẽ trả lại cho tôi số 2.

For example, imagine a machine that doubles any number that you give it. If I put in the number 1, it'll give me back the number 2.

0:36

Nếu tôi đưa vào số 5, nó sẽ nhân đôi và trả lại cho tôi số 10. Và điều này cũng sẽ giống như vậy với các số khác.

If I put in the number 5, it'll double it and give me the number 10. And this would be the same for other numbers as well.

0:43

Trong nhiều trường hợp thực tế, đầu vào và đầu ra có ý nghĩa. Hãy tưởng tượng nút đăng ký mà hy vọng bạn đã nhấn đến giờ.

In many real world cases, the input and output have meanings. Just imagine the subscribe button that hopefully you've all pressed by now.

0:49

Đầu vào sẽ là bạn nhấp vào đăng ký và đầu ra sẽ là các video hàng tuần về vẻ đẹp của toán học và STEM trên dòng thời gian của bạn.

The input would be you clicking subscribe and the output would be weekly videos on the beauty of mathematics and stem on your timeline.

0:57

Một hàm số toán học khác có thể là tiền lương mà bạn kiếm được từ một công việc bán thời gian. Giả sử bạn kiếm được 10 bảng mỗi giờ.

Another more mathematical function could be the wages that you earn from a part-time job. Let's suppose you earn £10 per hour.

1:04

Đầu vào của hàm số có thể là số giờ bạn làm việc và đầu ra có thể là số tiền bạn kiếm được.

The input of the function could be the number of hours you work and the output could be the number of money you earn.

1:09

Vì vậy, nếu bạn làm việc trong một giờ, bạn sẽ kiếm được 10 bảng, nếu bạn làm việc trong hai giờ, bạn sẽ kiếm được 20 bảng, nếu bạn làm năm giờ thì bạn sẽ kiếm được 50 bảng và cứ như vậy.

So if you work for one hour you'll earn £10, if you work for two hours you'll earn 20, if you work five hours then you'll earn 50 and so on.

1:18

Bây giờ, mà không cần sử dụng bất kỳ phép tính phức tạp nào, có một điều rất quan trọng đang ẩn giấu ở đây.

Now already without using any complicated calculus, there's something really important hiding here.

1:23

Đầu ra thay đổi khi đầu vào thay đổi và ý tưởng đơn giản đó là hạt giống phát triển thành phép tính và tôi thấy nó thật đẹp.

The output changes when the input changes and that simple idea is the seed that grows into calculus and I find it remarkably beautiful.

1:32

Chúng ta đã thấy ý tưởng cơ bản này về hàm số nhưng điều này trông như thế nào về mặt toán học?

We've seen this basic idea of a function but what does this look like mathematically?

1:37

Chà, chúng ta có thể nói rằng cho mỗi giờ làm việc, chúng ta nhân

Well we can say that for every hour of work we multiply

1:40

điều này với 10 bảng để có tổng thanh toán, vì vậy chúng ta có thể định nghĩa một hàm số f nơi chúng ta lấy một đầu vào x, vì vậy trong trường hợp của chúng ta x sẽ là số giờ làm việc

this by £10 to get the total payment so we could define a function f where we take some input x so in our case x would be the number of hours worked

1:50

và chúng ta sẽ viết hàm số như thế này và sau đó hàm số này sẽ

and we'd write the function like this and then this function would

1:53

bằng giá trị mà chúng ta đang cố gắng tính toán, vì vậy đối với chúng ta

equal the value that we're trying to compute so for us

1:56

chúng ta đang cố gắng tính toán tổng thanh toán, vì vậy để tính điều này, chúng ta chỉ cần

we're trying to compute the total payment so to calculate this we'd simply

1:59

nhân giá trị x của chúng ta, số giờ làm việc với

multiply our x value the hours worked by

2:03

10, vì vậy biểu thức đầy đủ sẽ trông như thế này f

10 so the full expression would look like this f

2:06

của x bằng 10x, trong đó x ở đây là

of x equals 10x where x here is

2:09

số giờ làm việc và f của x là số tiền kiếm được. Đây

the number of hours worked and f of x is the money earned this

2:13

đây tất nhiên là định nghĩa tổng quát nhưng còn nếu chúng ta muốn đánh giá

is of course the general definition but what about if we want to evaluate

2:16

nó tại một giá trị x nhất định chúng ta có hàm này nhưng

it at a certain x value we have this function but

2:19

làm thế nào chúng ta thực sự sử dụng nó nếu chúng ta biết rằng chúng ta đã làm việc một

how do we actually use it well if we know that we've worked one

2:22

giờ thì chúng ta sẽ viết f của x bằng một

hour then we'd write f of x equals one

2:25

vì vậy chúng ta đang nhập giá trị x bằng một vào đây chúng

so we're inputting the value x equals one into here we

2:28

ta cũng có thể viết điều này chỉ là f của một và điều này sẽ bằng 10 lần x nơi giá trị x của chúng ta ở đây là một vì vậy điều này sẽ là 10 lần 1 bằng 10.

can also write this as just f of one and this would equal 10 times x where our x value here is one so this would be 10 times 1 which equals 10.

2:38

và chúng ta có thể làm tương tự cho bất kỳ số giờ làm việc nào khác vì vậy hãy nói là năm.

and we can do the same for any other number of hours worked so let's say five.

2:42

Nếu chúng ta nhập x bằng năm vào đây chúng ta sẽ có biểu thức này và chúng ta thấy rằng hàm bằng 50.

If we input x equals five in here we end up with this expression and we find that the function equals 50.

2:48

Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng số tiền mà chúng ta đã kiếm được từ năm giờ làm việc là 50 bảng. Thật tuyệt vời.

So we can say here that the money that we've earned from five hours of work is 50 pounds. Lovely stuff.

2:55

Tất nhiên mọi thứ chúng ta đã làm cho đến nay chỉ nhìn vào các con số nhưng điều thực sự tuyệt vời về các hàm là chúng ta có thể vẽ chúng trên đồ thị và chúng ta có thể cho thấy hành vi của chúng trông như thế nào.

Of course everything we've done so far has just looked at numbers but the really beautiful thing about functions is that we can plot them on graphs and we can show what their behavior looks like.

3:04

Vì vậy, trục ngang sẽ đại diện cho đầu vào, trong trường hợp của chúng ta là số giờ làm việc,

So the horizontal axis would represent the input, in our case hours worked,

3:09

và trục dọc sẽ đại diện cho đầu ra, trong trường hợp này là tiền kiếm được.

and the vertical axis would represent the output, in this case money earned.

3:13

Vì vậy, trục ngang sẽ có nhãn x cho số giờ làm việc và trục dọc sẽ được gán nhãn f của x, trong trường hợp này là tiền kiếm được.

So the horizontal axis would have the label x for the hours worked and the vertical axis would be labelled f of x, in this case money earned.

3:22

Nếu bạn đã thấy các hàm hoặc đồ thị trước đây thì bạn có thể biết rằng f của x ở đây đôi khi được ký hiệu bằng y.

If you've seen functions or graphs before then you might know that f of x here is sometimes denoted by y.

3:28

Vì vậy, điểm 110 được ký hiệu như thế này có nghĩa là sau một giờ bạn đã kiếm được 10 bảng.

So the point 110 which is denoted like this means that after one hour you've earned 10 pounds.

3:34

Số 0.220 có nghĩa là sau hai giờ bạn đã kiếm được 20 bảng và số 0.550 có nghĩa là sau năm giờ bạn đã kiếm được 50 bảng.

The 0.220 means after two hours you've earned 20 pounds and the 0.550 means after five hours you've earned 50 pounds.

3:43

Tất nhiên nếu chúng ta tiếp tục thêm nhiều giá trị hơn nữa thì những điểm này sẽ tạo thành một đường thẳng và lý do nó là một đường thẳng là vì mối quan hệ là ổn định.

Of course if we keep adding more and more values these points will form a straight line and the reason it's a straight line is that the relationship is steady.

3:51

Mỗi giờ thêm vào sẽ thêm chính xác 10 bảng. Đầu ra tăng lên cùng một số mỗi lần.

Every extra hour adds exactly 10 pounds. The output increases by the same amount every time.

3:57

Đó là điều làm cho đồ thị này thật đơn giản. Độ dốc của nó không bao giờ thay đổi.

That's what makes this graph so simple. Its steepness never changes.

4:01

Vì vậy, với mỗi bước sang bên phải, đồ thị đi lên 10 bước. Bây giờ, độ dốc này được gọi là độ dốc.

So for every one step to the right, the graph goes up 10 steps. Now, this steepness here is called the slope.

4:08

Trong trường hợp này, độ dốc là 10. Và chúng ta tính điều này bằng cách nói sự thay đổi trong hướng f, là 10, chia cho sự thay đổi trong hướng x, là 1.

In this case, the slope is 10. And we compute this by saying the change in the f direction, which is 10, divided by the change in the x direction, which is 1.

4:17

Và điều này cho chúng ta số 10. Và điều này phù hợp với thế giới thực, có nghĩa là bạn kiếm được 10 bảng mỗi giờ.

And this gives us the number 10. And this matches the real world, meaning you earn £10 per hour.

4:23

Vì vậy, ở đây độ dốc cho chúng ta biết tỷ lệ thay đổi. Nó cho chúng ta biết tiền thay đổi nhanh như thế nào khi số giờ thay đổi.

So here the slope tells us the rate of change. It tells us how fast money changes as hours change.

4:29

Nhưng không phải hàm nào cũng đơn giản như vậy. Nhiều thứ trong thế giới thực không thay đổi với tỷ lệ ổn định.

But not every function is this simple. Many things in the real world don't change at a constant rate.

4:35

Hãy tưởng tượng một chiếc xe bắt đầu tại một đèn giao thông. Vào đúng thời điểm đèn chuyển sang xanh, chiếc xe bắt đầu từ trạng thái đứng yên.

Imagine a car starting at a traffic light. At the exact moment the light turns green, the car starts from rest.

4:42

Đầu tiên nó di chuyển chậm và sau đó tăng tốc. Sau đó nó bao phủ ngày càng nhiều khoảng cách mỗi giây cho đến khi đạt tốc độ tối đa.

At first it moves slowly and then it speeds up. Then it covers more and more distance each second until it hits the speed limit.

4:49

Để giữ cho toán học đơn giản, chúng ta có thể mô tả khoảng cách của chiếc xe từ đèn giao thông bằng hàm này ngay tại đây.

To keep the math simple, we can describe the car's distance from the traffic light with this function right here.

4:55

f của t bằng t bình phương, trong đó t là thời gian tính bằng giây và f của t là khoảng cách của chiếc xe từ đèn giao thông tính bằng mét.

f of t equals t squared, where t is the time in seconds and f of t is the car's distance from the traffic light in metres.

처음 5분까지만 무료로 볼 수 있어요. 이어서 보려면 앱이나 확장 프로그램을 설치하세요.

다운로드

Ellie Sleightholm — 더 많은 영상 Tiếng Việt 자막 더 보기