Introduction to Calculus - What IS a Derivative?
0:00
toán học thật đẹp vì nó cho chúng ta một cách để mô tả những thứ luôn thay đổi
mathematics is beautiful because it gives us a way to describe things that are always changing
0:04
những thứ như chuyển động, sự phát triển và tốc độ bây giờ
things such as motion growth and speed now
0:08
nếu bạn muốn hiểu về phép tính, ý tưởng đầu tiên bạn thực sự cần phải
if you want to understand calculus the first idea you really need to
0:11
hiểu là đạo hàm và trong video này chúng ta sẽ
understand is the derivative and in this video we're going
0:14
xây dựng ý tưởng đó bằng cách giới thiệu định nghĩa chính thức về đạo hàm nhưng chúng ta sẽ làm điều đó bằng cách xây dựng trực giác phía sau nó. Bây giờ, để bắt đầu, chúng ta phải bắt đầu với những điều cơ bản, chính xác thì hàm số là gì
to build up that idea by introducing the formal definition of a derivative but we're going to do it by building up intuition behind it now to start with we must begin with the basics what exactly is a function
0:26
Một hàm số giống như một cỗ máy, bạn đưa vào một đầu vào và nó sẽ cho bạn một đầu ra.
A function is like a machine, you give it an input and it gives you an output.
0:30
Ví dụ, hãy tưởng tượng một cỗ máy nhân đôi bất kỳ số nào mà bạn đưa vào. Nếu tôi đưa vào số 1, nó sẽ trả lại cho tôi số 2.
For example, imagine a machine that doubles any number that you give it. If I put in the number 1, it'll give me back the number 2.
0:36
Nếu tôi đưa vào số 5, nó sẽ nhân đôi và trả lại cho tôi số 10. Và điều này cũng sẽ giống như vậy với các số khác.
If I put in the number 5, it'll double it and give me the number 10. And this would be the same for other numbers as well.
0:43
Trong nhiều trường hợp thực tế, đầu vào và đầu ra có ý nghĩa. Hãy tưởng tượng nút đăng ký mà hy vọng bạn đã nhấn đến giờ.
In many real world cases, the input and output have meanings. Just imagine the subscribe button that hopefully you've all pressed by now.
0:49
Đầu vào sẽ là bạn nhấp vào đăng ký và đầu ra sẽ là các video hàng tuần về vẻ đẹp của toán học và STEM trên dòng thời gian của bạn.
The input would be you clicking subscribe and the output would be weekly videos on the beauty of mathematics and stem on your timeline.
0:57
Một hàm số toán học khác có thể là tiền lương mà bạn kiếm được từ một công việc bán thời gian. Giả sử bạn kiếm được 10 bảng mỗi giờ.
Another more mathematical function could be the wages that you earn from a part-time job. Let's suppose you earn £10 per hour.
1:04
Đầu vào của hàm số có thể là số giờ bạn làm việc và đầu ra có thể là số tiền bạn kiếm được.
The input of the function could be the number of hours you work and the output could be the number of money you earn.
1:09
Vì vậy, nếu bạn làm việc trong một giờ, bạn sẽ kiếm được 10 bảng, nếu bạn làm việc trong hai giờ, bạn sẽ kiếm được 20 bảng, nếu bạn làm năm giờ thì bạn sẽ kiếm được 50 bảng và cứ như vậy.
So if you work for one hour you'll earn £10, if you work for two hours you'll earn 20, if you work five hours then you'll earn 50 and so on.
1:18
Bây giờ, mà không cần sử dụng bất kỳ phép tính phức tạp nào, có một điều rất quan trọng đang ẩn giấu ở đây.
Now already without using any complicated calculus, there's something really important hiding here.
1:23
Đầu ra thay đổi khi đầu vào thay đổi và ý tưởng đơn giản đó là hạt giống phát triển thành phép tính và tôi thấy nó thật đẹp.
The output changes when the input changes and that simple idea is the seed that grows into calculus and I find it remarkably beautiful.
1:32
Chúng ta đã thấy ý tưởng cơ bản này về hàm số nhưng điều này trông như thế nào về mặt toán học?
We've seen this basic idea of a function but what does this look like mathematically?
1:37
Chà, chúng ta có thể nói rằng cho mỗi giờ làm việc, chúng ta nhân
Well we can say that for every hour of work we multiply
1:40
điều này với 10 bảng để có tổng thanh toán, vì vậy chúng ta có thể định nghĩa một hàm số f nơi chúng ta lấy một đầu vào x, vì vậy trong trường hợp của chúng ta x sẽ là số giờ làm việc
this by £10 to get the total payment so we could define a function f where we take some input x so in our case x would be the number of hours worked
1:50
và chúng ta sẽ viết hàm số như thế này và sau đó hàm số này sẽ
and we'd write the function like this and then this function would
1:53
bằng giá trị mà chúng ta đang cố gắng tính toán, vì vậy đối với chúng ta
equal the value that we're trying to compute so for us
1:56
chúng ta đang cố gắng tính toán tổng thanh toán, vì vậy để tính điều này, chúng ta chỉ cần
we're trying to compute the total payment so to calculate this we'd simply
1:59
nhân giá trị x của chúng ta, số giờ làm việc với
multiply our x value the hours worked by
2:03
10, vì vậy biểu thức đầy đủ sẽ trông như thế này f
10 so the full expression would look like this f
2:06
của x bằng 10x, trong đó x ở đây là
of x equals 10x where x here is
2:09
số giờ làm việc và f của x là số tiền kiếm được. Đây
the number of hours worked and f of x is the money earned this
2:13
đây tất nhiên là định nghĩa tổng quát nhưng còn nếu chúng ta muốn đánh giá
is of course the general definition but what about if we want to evaluate
2:16
nó tại một giá trị x nhất định chúng ta có hàm này nhưng
it at a certain x value we have this function but
2:19
làm thế nào chúng ta thực sự sử dụng nó nếu chúng ta biết rằng chúng ta đã làm việc một
how do we actually use it well if we know that we've worked one
2:22
giờ thì chúng ta sẽ viết f của x bằng một
hour then we'd write f of x equals one
2:25
vì vậy chúng ta đang nhập giá trị x bằng một vào đây chúng
so we're inputting the value x equals one into here we
2:28
ta cũng có thể viết điều này chỉ là f của một và điều này sẽ bằng 10 lần x nơi giá trị x của chúng ta ở đây là một vì vậy điều này sẽ là 10 lần 1 bằng 10.
can also write this as just f of one and this would equal 10 times x where our x value here is one so this would be 10 times 1 which equals 10.
2:38
và chúng ta có thể làm tương tự cho bất kỳ số giờ làm việc nào khác vì vậy hãy nói là năm.
and we can do the same for any other number of hours worked so let's say five.
2:42
Nếu chúng ta nhập x bằng năm vào đây chúng ta sẽ có biểu thức này và chúng ta thấy rằng hàm bằng 50.
If we input x equals five in here we end up with this expression and we find that the function equals 50.
2:48
Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng số tiền mà chúng ta đã kiếm được từ năm giờ làm việc là 50 bảng. Thật tuyệt vời.
So we can say here that the money that we've earned from five hours of work is 50 pounds. Lovely stuff.
2:55
Tất nhiên mọi thứ chúng ta đã làm cho đến nay chỉ nhìn vào các con số nhưng điều thực sự tuyệt vời về các hàm là chúng ta có thể vẽ chúng trên đồ thị và chúng ta có thể cho thấy hành vi của chúng trông như thế nào.
Of course everything we've done so far has just looked at numbers but the really beautiful thing about functions is that we can plot them on graphs and we can show what their behavior looks like.
3:04
Vì vậy, trục ngang sẽ đại diện cho đầu vào, trong trường hợp của chúng ta là số giờ làm việc,
So the horizontal axis would represent the input, in our case hours worked,
3:09
và trục dọc sẽ đại diện cho đầu ra, trong trường hợp này là tiền kiếm được.
and the vertical axis would represent the output, in this case money earned.
3:13
Vì vậy, trục ngang sẽ có nhãn x cho số giờ làm việc và trục dọc sẽ được gán nhãn f của x, trong trường hợp này là tiền kiếm được.
So the horizontal axis would have the label x for the hours worked and the vertical axis would be labelled f of x, in this case money earned.
3:22
Nếu bạn đã thấy các hàm hoặc đồ thị trước đây thì bạn có thể biết rằng f của x ở đây đôi khi được ký hiệu bằng y.
If you've seen functions or graphs before then you might know that f of x here is sometimes denoted by y.
3:28
Vì vậy, điểm 110 được ký hiệu như thế này có nghĩa là sau một giờ bạn đã kiếm được 10 bảng.
So the point 110 which is denoted like this means that after one hour you've earned 10 pounds.
3:34
Số 0.220 có nghĩa là sau hai giờ bạn đã kiếm được 20 bảng và số 0.550 có nghĩa là sau năm giờ bạn đã kiếm được 50 bảng.
The 0.220 means after two hours you've earned 20 pounds and the 0.550 means after five hours you've earned 50 pounds.
3:43
Tất nhiên nếu chúng ta tiếp tục thêm nhiều giá trị hơn nữa thì những điểm này sẽ tạo thành một đường thẳng và lý do nó là một đường thẳng là vì mối quan hệ là ổn định.
Of course if we keep adding more and more values these points will form a straight line and the reason it's a straight line is that the relationship is steady.
3:51
Mỗi giờ thêm vào sẽ thêm chính xác 10 bảng. Đầu ra tăng lên cùng một số mỗi lần.
Every extra hour adds exactly 10 pounds. The output increases by the same amount every time.
3:57
Đó là điều làm cho đồ thị này thật đơn giản. Độ dốc của nó không bao giờ thay đổi.
That's what makes this graph so simple. Its steepness never changes.
4:01
Vì vậy, với mỗi bước sang bên phải, đồ thị đi lên 10 bước. Bây giờ, độ dốc này được gọi là độ dốc.
So for every one step to the right, the graph goes up 10 steps. Now, this steepness here is called the slope.
4:08
Trong trường hợp này, độ dốc là 10. Và chúng ta tính điều này bằng cách nói sự thay đổi trong hướng f, là 10, chia cho sự thay đổi trong hướng x, là 1.
In this case, the slope is 10. And we compute this by saying the change in the f direction, which is 10, divided by the change in the x direction, which is 1.
4:17
Và điều này cho chúng ta số 10. Và điều này phù hợp với thế giới thực, có nghĩa là bạn kiếm được 10 bảng mỗi giờ.
And this gives us the number 10. And this matches the real world, meaning you earn £10 per hour.
4:23
Vì vậy, ở đây độ dốc cho chúng ta biết tỷ lệ thay đổi. Nó cho chúng ta biết tiền thay đổi nhanh như thế nào khi số giờ thay đổi.
So here the slope tells us the rate of change. It tells us how fast money changes as hours change.
4:29
Nhưng không phải hàm nào cũng đơn giản như vậy. Nhiều thứ trong thế giới thực không thay đổi với tỷ lệ ổn định.
But not every function is this simple. Many things in the real world don't change at a constant rate.
4:35
Hãy tưởng tượng một chiếc xe bắt đầu tại một đèn giao thông. Vào đúng thời điểm đèn chuyển sang xanh, chiếc xe bắt đầu từ trạng thái đứng yên.
Imagine a car starting at a traffic light. At the exact moment the light turns green, the car starts from rest.
4:42
Đầu tiên nó di chuyển chậm và sau đó tăng tốc. Sau đó nó bao phủ ngày càng nhiều khoảng cách mỗi giây cho đến khi đạt tốc độ tối đa.
At first it moves slowly and then it speeds up. Then it covers more and more distance each second until it hits the speed limit.
4:49
Để giữ cho toán học đơn giản, chúng ta có thể mô tả khoảng cách của chiếc xe từ đèn giao thông bằng hàm này ngay tại đây.
To keep the math simple, we can describe the car's distance from the traffic light with this function right here.
4:55
f của t bằng t bình phương, trong đó t là thời gian tính bằng giây và f của t là khoảng cách của chiếc xe từ đèn giao thông tính bằng mét.
f of t equals t squared, where t is the time in seconds and f of t is the car's distance from the traffic light in metres.
5:03
Chúng ta có thể thay giá trị vào đây để xem điều gì đang xảy ra. Vì vậy, tại t bằng 1, chúng ta có f của 1, chỉ là 1 bình phương, bằng 1.
We can plug in values here to see what's happening. So at t equals 1, we'd have f of 1, which is just 1 squared, which equals 1.
5:10
Vì vậy, chiếc xe cách đèn giao thông 1 mét sau 1 giây. sau
So the car is 1 metre away after 1 second. after
5:14
hai giây chúng ta có f của 2 bằng 2
two seconds we'd have f of 2 equals 2
5:17
bình phương bằng 4 vì vậy chiếc xe cách đèn giao thông 4 mét sau
squared equals 4 so the car is 4 meters away after
5:21
hai giây và tương tự chúng ta có thể xem xét bốn giây vì vậy
two seconds and similarly we can look at four seconds so
5:24
f của 4 là 4 bình phương bằng 16 vì vậy
f of 4 is 4 squared which equals 16 so
5:27
chiếc xe cách đèn giao thông 16 mét sau bốn giây được rồi
the car is 16 meters away after four seconds okay
5:31
vì vậy chúng ta có thể thấy rõ đồ thị ở đây nhưng làm thế nào để chúng ta tính toán độ dốc cho đồ thị này cho một đường thẳng có một câu trả lời nhưng cho đường cong này độ dốc phụ thuộc vào vị trí của chúng ta.
so we can clearly see the graph here but how do we compute the slope for this graph for a straight line there was one answer but for this curve the slope depends on where we are.
5:40
Gần đầu, đồ thị khá phẳng nhưng sau đó đồ thị dốc hơn nhiều. Vì vậy bây giờ chúng ta cần một câu hỏi chính xác hơn.
Near the beginning the graph is quite flat but later on the graph is much steeper. So now we need a more precise question.
5:47
Không phải độ dốc của toàn bộ đồ thị này mà là độ dốc tại thời điểm chính xác này?
Not what is the slope of this whole graph but what is the slope at this exact moment?
5:53
Câu hỏi đó đang hỏi về đạo hàm. Đạo hàm cho chúng ta biết khoảng cách thay đổi nhanh như thế nào tại một thời điểm chính xác hoặc trực quan nó cho biết
That question is asking for the derivative. The derivative tells us how fast the distance is changing at one exact moment or visually it tells
6:02
như độ dốc của đường cong tại một điểm chính xác và đạo hàm là cách chúng ta đo độ dốc thay đổi đó.
as the slope of the curve at one exact point and derivatives are how we measure that changing slope.
6:07
Để xây dựng ý tưởng về đạo hàm, trước tiên hãy tập trung vào một điểm trên đường cong này.
To build up the idea of a derivative let's first focus on one point on this curve.
6:13
Vì vậy, tại t bằng ba, tức là sau ba giây, chiếc xe cách đèn giao thông 9 mét.
So at t equals three, that is at three seconds, the car is nine meters away from the traffic light.
6:18
Vì vậy, điểm trên đồ thị là t bằng ba và f của t bằng chín.
So the point on the graph is t equals three and f of t equals nine.
6:23
Bây giờ hãy tưởng tượng chúng ta muốn biết độ dốc của đường cong chính xác ở đây. Vấn đề là độ dốc thường yêu cầu hai điểm.
Now imagine we want to know how steep the curve is exactly here. The problem is that slope usually requires two points.
6:30
Đối với một đường thẳng, chúng ta sẽ chọn hai điểm và hỏi mức thay đổi đầu ra là bao nhiêu, mức thay đổi đầu vào là bao nhiêu, sau đó chúng ta sẽ đơn giản chia cho nhau.
For a straight line we'd pick two points and ask how much did the output change, how much did the input change, then we'd simply divide.
6:36
Vì vậy, độ dốc sẽ là sự thay đổi theo chiều dọc chia cho sự thay đổi theo chiều ngang.
So the slope would be the vertical change divided by the horizontal change.
6:41
Điều này thường được ký hiệu là dy trên dx, hoặc trong trường hợp của chúng ta, điều này sẽ là df của t chia cho dt.
This is often denoted as dy by dx, or in our case this would be df of t divided by dt.
6:46
Nhưng nếu chúng ta muốn độ dốc tại một điểm duy nhất, chúng ta có một vấn đề.
But if we want the slope at one single point we have a problem.
6:50
Một điểm tự nó không cho chúng ta sự thay đổi trong trục dọc hoặc trục ngang, vì vậy chúng ta cần hai điểm để tính toán độ dốc đó.
One point by itself does not give us a change in the vertical or horizontal axis, so we need two points to calculate that slope.
6:57
Vì vậy, đây là ý tưởng thông minh thay vì cố gắng tìm độ dốc tại một điểm ngay lập tức, chúng ta bắt đầu bằng cách chọn một điểm thứ hai gần đó vì vậy hãy lấy t bằng 4, nơi chúng ta biết hàm tại t bằng 4 là 16.
So here's the clever idea instead of trying to find the slope at one point immediately we start by choosing a second point nearby so let's take t equals 4 where we know the function at t equals 4 is 16
7:09
tại t bằng 3, xe cách 9 mét, tại t bằng 4, xe cách 16 mét, vì vậy giữa 3 và 4 giây, tốc độ trung bình là sự khác biệt trong các giá trị f chia cho sự khác biệt trong các giá trị t.
at t equals 3 the car is 9 meters away at t equals 4 the car is 16 meters away so between 3 and 4 seconds the average speed is the difference in the f values divided by the difference in the t values
7:21
Vì vậy, ở đây sẽ là 16 trừ 9, tất cả chia cho 4 trừ 3. Và điều này cho chúng ta giá trị 7.
So here this would be 16 minus 9, all divided by 4 minus 3. And this gives us the value 7.
7:29
Vì vậy, giữa 3 và 4 giây, tốc độ trung bình của xe là 7 mét mỗi giây.
So between 3 and 4 seconds, the car's average speed was 7 metres per second.
7:34
Đường thẳng này giữa hai điểm trên một đường cong được gọi là đường secant thứ hai.
This straight line between two points on a curve is called the second or secant line.
7:38
Độ dốc của nó cho chúng ta biết tỷ lệ thay đổi trung bình giữa hai điểm đó.
Its slope tells us the average rate of change between those two points.
7:42
Nhưng hãy nhớ, chúng ta không muốn tốc độ trung bình giữa 3 và 4 giây, chúng ta muốn tốc độ chính xác tại 3 giây.
But remember, we don't want the average speed between 3 and 4 seconds, we want the speed exactly at 3 seconds.
7:49
Vậy chúng ta làm gì? Chúng ta di chuyển điểm gần hơn. Vậy hãy xem xét 3 giây và 3,5 giây.
So what do we do? we move the point closer. So let's look at 3 seconds and 3.5 seconds.
7:55
Tốc độ trung bình trong khoảng thời gian nhỏ hơn đó cho chúng ta ước lượng tốt hơn về tốc độ tại chính xác 3 giây.
The average speed over that smaller interval gives us a better estimate of the speed at exactly 3 seconds.
8:01
Hãy di chuyển nó gần hơn một lần nữa, vì vậy giữa 3 và 3,1.
Let's move it closer again, so between 3 and 3.1.
8:05
Khoảng thời gian này giờ đây còn nhỏ hơn nữa, nhưng hãy di chuyển nó gần hơn một lần nữa, giữa 3 và 3,01.
This time interval is now even smaller, but let's move it even closer again, between 3 and 3.01.
8:12
Khi điểm thứ hai ngày càng gần hơn với điểm đầu tiên
As the second point gets closer and closer to the first
8:15
điểm, đường thứ hai bắt đầu ổn định vào một hướng cụ thể và cuối cùng nó trở nên gần như không thể phân biệt với một đường chỉ chạm vào đường cong tại điểm đó.
point, the second line starts to settle into one particular direction and eventually it becomes almost indistinguishable from a line that just touches the curve at that point.
8:25
Đường này được gọi là đường tiếp tuyến và ở đó chúng ta vừa phát hiện ra tỷ lệ thay đổi tức thời tại một điểm nhất định.
This line is called the tangent line and there we have just discovered the instantaneous rate of change at a given point.
8:32
Bây giờ ý tưởng này rất quan trọng trong giải tích vi phân và nó được gọi là đạo hàm.
Now this idea is crucial in differential calculus and it's known as a derivative.
8:38
Chúng ta sẽ nói rằng đạo hàm của f tại điểm t là độ dốc của đường tiếp tuyến 2f tại điểm t.
Formally we would say that the derivative of f at the point t is the slope of the tangent line 2f at the point t.
8:45
Nhưng làm thế nào chúng ta ký hiệu một đạo hàm? Chà, một cách là ký hiệu Leibniz
But how do we denote a derivative? Well, one way is Leibniz notation
8:50
nơi chúng ta có độ dốc bằng df chia cho dt hoặc nói chung là dy chia cho dx cho một đồ thị xy.
where we'd have the slope equals df divided by dt or more generally dy by dx for an xy graph.
8:58
Ký hiệu này đề cập đến những thay đổi rất nhỏ trong f chia cho những thay đổi siêu nhỏ trong t như chúng ta đã thấy trước đó.
This notation refers to really small changes in f divided by super small changes in t like we've already seen.
9:05
Một ký hiệu khác là f prime của t1 nơi t1 là một điểm trên đồ thị.
Another notation is f prime of t1 where t1 is a point on the graph.
9:10
Vì vậy, bạn cũng có thể thấy điều này trong một số sách giáo khoa toán học hoặc bài học trực tuyến. Thực sự phụ thuộc vào cách mọi người thích định dạng các đạo hàm của họ.
So you might also see this in some mathematics textbooks or lessons online. It really depends on how people like to format their derivatives.
9:17
Bây giờ mọi thứ mà chúng ta đã đề cập cho đến nay đã được viết ra để bạn hiểu lý do đằng sau định nghĩa chính thức của một đạo hàm.
Now everything we've touched on so far has been written down so that you understand the reason behind the formal definition of a derivative.
9:24
Đây là định nghĩa mà bạn sẽ thấy trong hầu hết các sách giáo khoa và đó là một trong những điều đầu tiên tôi học ở đại học.
This is the definition that you'll see in most textbooks and it was one of the first things I learned at university.
9:31
Bây giờ khi tôi học A levels, tôi đã học quy tắc chung cho một đạo hàm.
Now when I was in A levels I learned the general rule of thumb for a derivative.
9:35
Nếu bạn có một biểu thức tổng quát như ax mũ
If you have some general expression like ax to the
9:38
lũy thừa n thì đạo hàm chỉ là n
power n then the derivative would just be n
9:41
nhân với a nhân với x mũ n trừ 1 vì vậy bạn nhân với mũ và sau đó bạn giảm 1 xuống mũ nhưng tôi chưa bao giờ thực sự được dạy rõ ràng về điều đó và đó là điều mà chúng ta sẽ hiểu bây giờ.
times by a times by x to the power n minus 1 so you times by the power and then you drop 1 to the power but I was never really taught explicitly where that came from and that's what we're going to understand now.
9:53
Bây giờ, như một lời nhắc về những gì chúng ta vừa đề cập khi bạn có một độ dốc nào đó
Now as a reminder of what we've just covered when you have some slope
9:57
của một hàm và bạn muốn tính đạo hàm tại một điểm, ví dụ df của dx tại x bằng 1 thì chúng ta sẽ lấy
of a function and you want to calculate the derivative at a point so df of dx at x equals 1 for example then we would take that
10:05
điểm x bằng 1 và đẩy điểm đó ra một phần nhỏ, chúng ta sẽ gọi điều này là dx.
point x equals 1 and nudge the point some small part away, we'd call this dx.
10:10
Sau đó, chúng ta sẽ xem xét sự thay đổi kết quả đối với đầu ra df.
Then we'd look at the resulting change to the output df.
10:14
Đạo hàm là bất kỳ sự thay đổi nào trong f chia cho sự thay đổi trong x tiếp cận khi dx này tiếp cận 0.
The derivative is whatever the change in f divided by the change in x approaches as this dx approaches 0.
10:21
Bây giờ hãy chú ý rằng nếu chúng ta giữ nguyên f ban đầu là 1, điểm mà chúng ta muốn tính đạo hàm tại đó, thì đẩy nó bởi một giá trị dx nào đó,
Now notice that if we stick with the original f of 1, the point that we want to calculate the derivative at, then nudge it by some dx value,
10:30
chúng ta sẽ có biểu thức tổng quát này ở đây, nơi chúng ta sẽ có df chia cho dx bằng f của 1 cộng với dx trừ f của 1 tất cả chia cho dx.
we'd have this general expression here where we'd have df divided by dx equals f of 1 plus dx minus f of 1 all divided by dx.
10:40
Đó đơn giản là phương trình cho độ dốc và chúng ta muốn tìm hiểu tỷ lệ này tiếp cận như thế nào khi dx tiếp cận 0.
That's simply the equation for the slope and we want to find out what this ratio approaches as dx approaches 0.
10:48
Nhớ rằng khi chúng ta cố gắng lấy tỷ lệ thay đổi tức thời tại một điểm cụ thể.
Remember when we're trying to get the instantaneous rate of change at a specific point.
10:53
Để làm điều này, tất cả những gì chúng ta làm là thêm một ký hiệu giới hạn ở phía trước với một mũi tên dx hướng về 0 bên dưới nó.
To do this all we do is add a limb notation at the front with a dx arrow zero below it.
10:59
Điều này được gọi là giới hạn và đây sẽ là chủ đề thứ hai trong loạt bài này, vì vậy hãy chắc chắn đăng ký.
This is known as a limit and this will be the second topic in this series so make sure to subscribe.
11:04
Bây giờ điều này có nghĩa là chúng ta đang hỏi điều gì xảy ra với giới hạn của
Now what this means is we're asking what happens to the limit of
11:08
biểu thức này ở đây khi dx tiến tới
this expression here as dx tends towards
11:11
0 và những gì chúng ta vừa khám phá là định nghĩa chính thức của một đạo hàm nhưng thực sự trong định nghĩa chính thức này dx ở đây được thay thế bằng ký hiệu h.
zero and what we've just uncovered is the formal definition of a derivative but actually in formal definition this dx here is replaced by the notation h.
11:21
Bây giờ có một số suy đoán về lý do tại sao chữ cái h được sử dụng ở đây.
Now there's some speculation around why the letter h is used here.
11:25
Có một số tài liệu thực sự đã sử dụng i trong toán học rất sớm
There are some papers that actually used i in very early mathematical
11:28
lịch sử cho gia số, vì vậy i có nghĩa là gia số nhưng điều này
history for increment so i meaning increment but this
11:31
được cho là đã được thay đổi để tránh nhầm lẫn trong ký hiệu
was presumed to have been changed to avoid confusion in notation
11:35
tất nhiên với các số ảo, những người khác đã nói
of course with imaginary numbers other people have said
11:38
rằng có lẽ vì f và g đã được sử dụng như là các hàm và
that it's perhaps because f and g were used as functions and
11:41
i đã được sử dụng như là các số ảo nên chữ cái duy nhất còn lại là
i was used as imaginary numbers so the only letter left was
11:44
h nhưng dù sao điều này mang lại cho chúng ta định nghĩa trước đây của một đạo hàm ngay tại đây vì vậy chúng ta có thể đơn giản chọn bất kỳ điểm nào trên đường cong của mình, vì vậy một giá trị x
h but anyway this gives us this former definition of a derivative right here so we can simply choose any point on our curve so an x value
11:54
và sử dụng phía bên phải để đánh giá đạo hàm tại điểm đó và điều này thực sự là toán học rất đẹp.
and use the right hand side to evaluate the derivative at that point and this is really really beautiful mathematics.
12:00
Bây giờ hãy làm điều đó cho một ví dụ để bạn có thể hiểu cách mà điều này hoạt động.
Now let's do it for an example so you can understand how this works.
12:05
Tôi sẽ cho bạn thấy một giải pháp cho một ví dụ cụ thể với
I'm going to be showing you a solution to a specific example with
12:08
đạo hàm sử dụng một nền tảng gọi là Vieta Space
derivatives using a platform called Vieta Space
12:11
và lý do tôi làm điều này là vì nó rất tiện lợi, tôi chỉ cần chụp màn hình hàm mà tôi muốn đưa vào một loại ký hiệu LaTeX nào đó và nó sẽ viết chính xác cho tôi.
and the reason I'm doing this is because it's so handy I can simply screenshot the function that I want to put in some sort of LaTeX notation and it'll write it out exactly for me.
12:22
Vậy hãy bắt đầu với định nghĩa của một đạo hàm, đó là những gì chúng ta có ở đây và chúng ta đã khám phá điều này trong video của mình.
So let's start with the definition of a derivative which is what we have here and we've already discovered this in our video.
12:28
Câu hỏi tiếp theo là chúng ta nên chọn hàm nào?
The next question is well what function should we choose?
12:31
Tôi quyết định sử dụng ví dụ trước đó mà chúng ta đã có, đó là f của t bằng t bình phương. Bây giờ tôi đã chọn điều này vì hai lý do.
I'm deciding to go with the previous example that we had which was f of t equals t squared. Now I've chosen this for two reasons.
12:38
Một là vì chúng ta đã thấy biểu thức này và đã khám phá nó trong video, nhưng cũng vì bạn có thể biết rằng t bình phương hoặc x bình phương là ví dụ cổ điển mà bạn bắt đầu khi học đạo hàm.
One because we've already seen the expression and we've already discovered it in the video but also because you might know that t squared or x squared is the classic example that you start with when learning derivatives.
12:48
Nếu bạn đã học bài về điều này trước đây, bạn có thể nhớ rằng bạn chỉ cần nhân với số mũ, vì vậy điều này sẽ là 2 và sau đó giảm một số mũ, vì vậy 2 trừ 1 sẽ là 1.
If you've done lessons on this before you might recall that you simply just times by the power so this would be 2 and then drop a power so 2 minus 1 would be 1.
12:57
Vì vậy, nếu bạn tính đạo hàm của t bình phương, bạn chỉ nhận được 2t.
so if you calculated the derivative of t squared you just get 2t.
13:01
Bây giờ điều đó là đúng và đó là những gì chúng ta được dạy trong
now that is true and that is what we are taught in
13:04
các lớp học, nhưng khi bạn vào đại học, bạn có thể hiểu tại sao điều này thực sự là như vậy và tại sao chúng ta có giá trị đó cho đạo hàm, và đó là điều tôi sẽ cho bạn thấy với ví dụ này.
classrooms but when you go into university you can understand why this is actually the case and why we get that value for the derivative and that's what I'm going to show you with this example.
13:14
Bây giờ tôi có thể viết toàn bộ biểu thức này cho
Now I could write out this entire expression for
13:18
một đạo hàm nữa, nhưng điều thực sự tuyệt vời với Vieta
a derivative again but the really nice thing with Vieta
13:21
là tôi có thể chỉ cần chụp màn hình hàm trước đó mà chúng ta
space is that I can simply screenshot the previous function that we
13:24
đã có và sau đó sử dụng tính năng AI của nó để yêu cầu nó thay đổi các giá trị x thành các giá trị t vì chúng ta đang sử dụng một hệ tọa độ dựa trên t chứ không phải x ở đây.
had and then use its AI feature to ask it to change the x values for t values because we're using a coordinate system based in t not x here.
13:33
Vì vậy, đây là những gì chúng ta sẽ giải quyết ở đây, nhưng thú vị là chúng ta sẽ không đưa vào bất kỳ giá trị cụ thể nào của t, chúng ta sẽ cố gắng giải quyết một cách rõ ràng.
So this is what we're going to solve here but interestingly we're not going to put in any specific value of t, we're going to try and solve it explicitly.
13:42
Vì vậy, hãy xem liệu chúng ta có thể có một biểu thức tổng quát cho đạo hàm hay không.
So see if we can get a general expression for the derivative.
13:45
Điều đầu tiên mà chúng ta sẽ làm là chúng ta thấy nửa trên nói f của t cộng h trừ f của t và chúng ta có thể mở rộng điều đó ra.
So the first thing that we're going to do is we see this top half that says f of t plus h minus f of t and we can expand that out.
13:53
Vậy hãy làm như vậy. Nếu chúng ta bắt đầu với chỉ f của t cộng h và nhập t cộng h vào
So let's do so. So if we start with just f of t plus h and input t plus h into
13:59
hàm của chúng ta, điều này sẽ là t cộng h tất cả
our function this would be t plus h all
14:02
bình phương, điều này bằng t bình phương cộng 2th
squared which equals t squared plus 2th
14:06
cộng h bình phương, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách thay thế
plus h squared we can start by substituting
14:09
điều này vào, vì vậy một lần nữa tôi chỉ định chụp màn hình đạo hàm của chúng ta và
this in so again i'm just going to screenshot our derivative and
14:12
dán ảnh chụp màn hình vào để chúng ta không phải lộn xộn quá nhiều
paste the screenshot in so we don't have to mess around too much
14:15
và tôi sẽ sử dụng tính năng AI một lần nữa để yêu cầu Vieta
and i'm going to use the ai feature again to ask fieta
14:18
không gian để cơ bản thay đổi f của t cộng h ở đây với những gì chúng ta vừa tính toán bây giờ lý do tôi cho bạn thấy công cụ này ở đây là vì nó thực sự hữu ích cho
space to basically change the f of t plus h here with what we've just calculated now the reason i'm showing you this tool here is because it's really handy for
14:27
tôi để tăng tốc độ viết toán và cơ bản tập trung vào việc giải quyết nhiều vấn đề hơn là khía cạnh viết.
me to speed up mathematical writing and basically focus on doing more of the problem solving than the writing aspect.
14:34
Vì vậy, tôi thực sự thích không gian Vieta cho điều này. Vì vậy, đạo hàm đã trở thành như thế này.
So I really like Vieta space for this. So the derivative has become this.
14:38
Chúng ta bây giờ có thể đơn giản thay thế giá trị f của t ở đây vì chúng ta biết rằng f của t bằng t bình phương và một lần nữa tôi chỉ yêu cầu Vieta hoán đổi điều đó.
We now can simply substitute what our f of t value is in here because we know that f of t equals t squared and again I'm just asking Vieta to swap that.
14:46
Một lần nữa tôi có thể đã làm điều này nhưng tôi thích làm nổi bật những tính năng thực sự tuyệt vời mà không gian Vieta có trên cô ấy nữa.
Again I could have done this but I like to highlight the really cool features that Vieta space has on her as well.
14:51
Chúng ta bây giờ có dạng này cho đạo hàm và chúng ta có thể thấy rõ rằng các hạng tử t bình phương ở đây phải hủy bỏ vì vậy điều này cho chúng ta biểu thức này cho đạo hàm ngay tại đây.
We now have this form for the derivative and we can clearly see that the t squared terms here must cancel so this gives us this expression for the derivative right here.
15:01
Bạn có thể nhận thấy rằng chúng ta có thể phân tích nửa trên của
You might notice that we can factorise the top half of
15:04
biểu thức này vì vậy chúng ta có thể lấy ra một yếu tố của h vì vậy điều này sẽ cho chúng ta rằng 2t h cộng h bình phương đơn giản là h mở ngoặc 2t cộng h điều này cho chúng ta biểu thức này cho đạo hàm.
this expression so we can take out a factor of h so this would give us that 2t h plus h squared is simply h open bracket 2t plus h which gives us this expression for the derivative.
15:17
bây giờ bạn cũng có thể nhận thấy rằng chúng ta có thể hủy bỏ
now you might also notice that we can cancel out
15:20
giá trị h ở đây vì vậy chúng ta có một giá trị h trên cả tử số
the h value here so we have a h value on both the numerator
15:24
và mẫu số và vì vậy giá trị h này
and denominator and so this h value
15:27
có thể hủy bỏ vì vậy h bị hủy bỏ và
can cancel out so the h is cancel and
15:30
tôi sẽ viết ra biểu thức này trong không gian Vieta để ngừng hiển thị
i'm going to write out this expression in vieta space to stop showing
15:33
bạn quá nhiều tính năng ai và cho bạn thấy rằng bạn thực sự có thể viết nếu bạn chỉ
you so much of the ai features and show you that you can actually write if you just
15:36
muốn tự viết vì vậy ở đây tôi đang viết ra biểu thức tổng quát và hoán đổi các giới hạn ở đây biểu thức tổng quát cho hàm mới của chúng ta
want to write yourself so here i'm writing out the general expression and swapping out the limits here the general expression for our new function
15:43
Vì vậy, chúng ta có df theo dt đơn giản là giới hạn khi h tiến tới 0 của 2t cộng h.
So we have df by dt is simply the limit as h tends towards 0 of 2t plus h.
15:51
Bây giờ biểu thức này cho giới hạn, chúng ta thực sự có thể thấy điều gì xảy ra ở đây.
Now this expression for the limit, we can really see what actually happens here.
15:56
Vì vậy, chúng ta có h và nếu bạn rõ ràng có h tiến tới 0, thì h sẽ trở thành 0 trong trường hợp này.
So we have h and if you obviously have h tending towards 0, then h is going to become 0 in this case.
16:03
Vì vậy, đạo hàm này chúng ta bây giờ sẽ có như df theo dt đơn giản bằng 2t.
So this derivative we would now have as df by dt simply equals 2t.
16:11
bởi vì khi chúng ta tiến h tới không, h rõ ràng đang trở nên gần hơn và gần hơn với không,
because as we're tending h towards zero, h is obviously becoming closer and closer to zero,
16:15
nó vì vậy là không, và vì vậy định nghĩa của chúng ta cho đạo hàm cho ví dụ cụ thể này là df theo dt bằng 2t.
it's therefore zero, and so our definition for derivative for this specific example is df by dt equals 2t.
16:24
Vì vậy, nếu bạn từng tự hỏi bạn lấy biểu thức tổng quát cho x bình phương hoặc t bình phương ở đâu khi bạn tính toán đạo hàm, thì đây chính xác là cách bạn làm điều đó.
So if you ever wondered where you get the general expression for x squared or t squared when you calculate the derivative, this is exactly how you do it.
16:34
Bây giờ nếu bạn muốn kiểm tra Vieta Space, đó là nền tảng mà tôi vừa sử dụng để tính toán tất cả những điều này và những gì tôi đã hiển thị trên màn hình thì tôi đã để một liên kết trong bình luận ghim và trong phần mô tả vì vậy hãy chắc chắn rằng bạn đi kiểm tra nó.
Now if you want to check out Vieta Space, which is the platform that I've just used to calculate all of this and what I've shown on screen then I've put a link in the pin comment and in the description so make sure you go check it out.
16:45
Chúng ta vừa thấy cách chính thức để tính toán đạo hàm của t bình phương bằng 2t.
We've just seen the formal way of calculating the derivative of t squared equals 2t.
16:50
Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần làm nếu chúng ta muốn tính toán tỷ lệ thay đổi của chiếc xe của chúng ta vào bất kỳ thời điểm nào là cắm một số thời gian vào biểu thức mới này.
Now all we need to do if we want to calculate the rate of change of our car at any time is to plug in some times into this new expression.
16:58
Vậy df theo dt tại t bằng 1 đơn giản là 2 lần t, tức là 2
So df by dt at t equals 1 is simply 2 times t which is 2
17:03
lần một, tức là hai và chúng ta có nó
times one which equals two and there we have it
17:06
chúng ta vừa tính đạo hàm của hàm này của
we've just calculated the derivative of this function of
17:10
xe của chúng ta tại một thời điểm cụ thể như thế nào
our car at a specific time how
17:13
thật tuyệt vời là video này đã rất vui khi thực hiện
wonderful is that this has been such a fun video to make
17:16
nên nếu bạn quan tâm đến nhiều hơn thì hãy chắc chắn đăng ký và tôi sẽ phát hành
so if you're interested in more then make sure to subscribe and i'm releasing
17:19
một video thứ hai trong loạt video này về giới hạn mà
a second video in this series on limits which
17:22
sẽ rất thú vị nên hãy chắc chắn bạn đăng ký cho điều đó cũng như cảm ơn rất nhiều đến tất cả các thành viên của tôi trên kênh này, những người giúp hỗ trợ kênh này ngay cả
will be really exciting so make sure you subscribe for that as well and thank you so much to all of my members on this channel who help support this channel even
17:29
hơn nữa và làm cho những video này trở nên khả thi, cảm ơn rất nhiều bạn và vì tất cả sự hỗ trợ mà tôi nhận được, cảm ơn rất nhiều vì đã xem và hẹn gặp lại tất cả các bạn trong video tiếp theo
further and make these videos possible thank you so much to you and for all the support that i receive thank you so much for watching and i'll see you all in the next one